5월의 작은 선인장

간단한 수열문제라고 생각될지도 모른다.
그리고 실제로 간단한 것이라는 생각이 든다.

오늘 퍼즐리스티님 블로그에 방문했다가 옛날에 퍼즐리스트님이 이 문제를 내셨던 것을 발견했다. ^^;
이 문제를 처음 재수학원 강사한테서 들었는데, 끝끝내 답을 듣지는 못한 것 같다. 아무튼 난 이틀동안이나 이 문제를 매달렸고, 결국 풀어내는데 성공했었다. ^^;;;
답은 퍼즐리스트님 글에 여러 분들께서 댓글로 남겨두셨으니 내가 따로 풀어놔둬야 하나 하는 생각이 들긴 하는데...... 아무튼 이 글을 보시는 분들도 해답을 보지 마시고 한 번 풀어보시기 바란다.

당시 이 문제를 풀기 위해서 미적분, 기하학까지 총동원해가면서 풀이에 매달렸는데.....
왜냐하면 콤비네이션 C를 내가 당시에 잘 다루질 못했기 때문이다.

내가 풀었던 방법은 정확히 thisknow님의 방법과 일치하는 방법이다. 지금 보면 좀 황당해 보일지도 모르겠지만.... 그때는 정말 이 문제를 하나 푼 것만으로도 너무나 많이 기뻤었다. (C는 제곱식들의 전개에서 자연스럽게 발생되어 나오니 그로부터 역으로 유추해보면 쉽게 답을 알 수 있을 것이다. 어떤 어려운 문제 하나를 풀어보면 정말 실력이 부쩍 느는 것을 느낄 수 있다. 요즘 아이들이 그런 느낌을 알고 있는지 잘 모르겠지만.... 요즘 교육환경은 그런게 좀 아쉽다.)
답을 알면 역으로 답이 맞는지 틀리는지는 간단히 증명된다. 두 항을 빼보면 되는 것이니.... ^^

오래간만에 퍼즐리스트님 덕분에 재미있는 과거를 생각해 봤다.
퍼즐리스트님 감사합니다. ^^

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우리는 초등학교 3~4 학년 때에 사칙연산에 대해서 배운다.
그 이전에 덧셈, 뺄셈, 나눗셈, 곱셈을 배우지만, 이들을 섞어서 배우는 것은 이때가 처음이다. 그런데 사칙연산을 배울 때 왜 덧셈과 뺄셈을 곱셈과 나눗셈보다 늦게 계산해야 하는지에 대해서 공부하거나 생각해 본 적이 있었나?
사실 부끄러운 일이지만, 이에 대해서 고민하는 사람은 거의 없었다. 물론 나도 마찬가지다.
처음 사칙연산의 계산순서를 정한 때가 언제인지는 모르겠지만, 그 누군가가 정해놨기 때문에 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다 먼저 계산해야 하는 것이 아닐까? 아마 정확히 사칙연산의 순서가 결정된 것은 18세기 후반에 각종 계산기호들이 결정될 때에서야 따라서 결정됐을 것이다.
오늘날 우리가 사용하는 계산기호들은 어느 누군가 혹은 어떤 단체에 의해서 결정된 것이 아니라 100여 년간에 걸쳐 많은 수식기호들이 출판업자들에 의해 시도되고, 그 결과로 가장 많은 사람들에 의해서 지지받은 기호들로 정착된 것이다. 100년간은 사람들이 수학과 과학을 공부하기 위해서 여러 가지 표기법을 익혀야 했었다.
이렇게 경쟁했던 기호들 중에 대표적인 것이 '='와 '∥'이었다. 물론 우리 모두가 알고 있는 것은 싸움의 승리 기호인 '='인 것일 테고…….

그렇다면 왜 덧셈보다 곱셈을 먼저 계산해야 하는가?
그건 우리가 그렇게 결정했기 때문이다. 그리고 그 결정이 편리했기 때문이다.
간단하게 우리가 수식을 사용할 때 되도록이면 간단하게 쓰이기를 원했을 것이다. 간단해야 계산도 쉽고, 책에 써 넣거나 읽기도 쉬웠을 것이다. 물론 처음부터 곱셈을 덧셈보다 먼저 계산하자는 시도만 있었던 것은 아닐 것이다. 사용하다보니 그렇게 하는 것이 편리했기 때문에 그렇게 정착된 것이다.

오늘날 살아남은 표기들 중에서도 곱셈보다 덧셈을 먼저 계산하는 방식이나 곱셈과 덧셈 중 우선순위가 존재하지 않는 표기법도 남아있다. 대표적인 예가 컴퓨터 프로그래밍에서의 Scheme에서의 수식 표현이나 알골(ALGOL) 프로그래밍의 표현 방법이다. 이들의 속에서의 수식 표기법에서는 사칙연산의 우선순위를 완전히 대등하게 놓고 표기한다. 관습적인 표기법에 익숙한 사람들에게는 매우 불편하지만, 감정과 관습에 없는 컴퓨터가 읽고 처리하기에는 매우 편한 방법이다. ^^


왼쪽 표기법에서 대부분의 괄호는 생략해도 된다.^[각주:1] 반면 오른쪽 표기법에서는 괄호를 생략하면 결과가 달라져 버린다. 우리가 보통 사용하는 수식이기 때문이다. 따라서 왼쪽 표기법에서는 사칙연산의 우선순위가 차이가 없음을 알 수 있다. 단순히 이론적인 논리학에서는 우선순위가 존재하는 표현방법과 존재하지 않는 표현방법 모두 가능하고, 실제로 아직도 많이 사용되고 있다.^[각주:2]


ps.
초등학생을 교육을 하는 교육자들이 학생들에게 사칙연산을 가르칠 때 가장 힘든 부분은 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다 먼저 계산하라는 것이다. 학생들의 입장에서는 왜 그렇게 되는 건지 이해가 되지 않는데 그렇게 하라고 하니 답답할 수밖에 없고, 교육자의 입장에서는 당연한 것을 못 알아듣는 초등학생들이 답답할 수밖에 없을 것이다.
하지만 위에서 이야기했듯이 교육자가 "개구리 올챙잇적 생각하지 못한다"는 속담처럼 자신이 교육받던 때의 기억을 잊었던 것이다. 당연하다고 생각한 것이 사실은 그 이외의 가능성을 감춰버리는 지우개로 작용했던 것을 미처 깨닫지 못했기 때문이다. 망각이고 습관이다. ^^;;
학생들의 의문은 4개의 연산자의 우선순위를 결정하는 조합이 꽤 많기 때문에 발생하는 것이다. 이것을 빨리 학습시킬 것이 아니라 속도가 느리더라도 정확하게 이해시켜야 학생의 미래에 더 정확한 수학실력을 갈고 닦을 수 있지 않을까?

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처음 글 쓴 날 : 2004-07-22 05:43:54

제논은 고대그리스의 엘레아학파의 철학자입니다.
제논의 직업은 이야기꾼으로서 그 당시에는 제자는 스승의 밑에 들어가서 생활하였고, 스승은 제자의 모든 의식주를 책임졌다고 합니다. 그는 스승인 파르메니데스의 문하에 들어가서 오랜시간 독립하지 않고 배우기만 해서 주위 눈총을 많이 받았다고 합니다. 어느날 스승인 파르메니데스가 제논을 불러 독립을 해야 하지 않겠냐는 권유(?)를 받고 며칠만에 이 역설을 생각해 내서 큰 히트를 치고 독립할 수 있었다고 합니다.
(물론 이 이야기는 거짓일 가능성이 매우 높지요.)
 

자.... 제논의 역설을 잘 살펴보셨나요???
제논의 역설이 뭔가 석연찮은 구석이 있는데, 그것을 꼬집을 수 없다구요???
그렇습니다. 제논의 역설은  그래서 수천년을 학자들의 연구대상이 되어왔습니다.
제논의 역설을 풀이한 것은 겨우 200여년 전에서야 가능했습니다.
 
그것은 시간 합의 유한성을 제논이 일부러 무시했기 때문에 나타나는 역설이었지요.
다시 말해서 아킬레스와 거북이가 달리는 시간은 실제로 무한하지 않기 때문에 현실에서는 일어날 수 없다는 것입니다. 제논의 역설이 성립하려면 거북이와 아킬레스가 달리는 각 단계의 주기가 같은 시간(혹은 합이 발산할 정도로 큰 시간들...)들이어야 합니다.
그러나 제논의 역설에서는 처음 달린 시간이 6초라면 두번째 달린 시간이 0.6초, 세번째 달린 시간이 0.06초.....
이런식으로 걸린 시간이 짧아지므로 결과적으로 이 모든 합이 일정한 값을 갖게 되어 그 시간 이후에는 현실세계에서는 아킬레스가 거북이를 앞설 수 있는 것이지요....
 
다시 말해서 제논의 역설은 시간의 유한성을 무시한 결과였습니다.
그 유한성을 무시한 것을 쉽게 극복하지 못했던 것은 극한이라는 개념을 다룰만한 논리도, 툴도 없었기 때문이었지요.
극한이란 어떤것에 도달할 수 없지만, 계속해서 그 어떤 것에 접근해가는 것을 말합니다. 제논의 역설은 그러한 극한을 풀어서 긴 수평선에 같은 간격으로 계속해서 늘리는 것과 비슷한 결과를 초래한 것입니다.
 
자.... 극한의 세계로 뛰어들 준비가 되셨나요????
다음 글부터는 본격적으로 극한의 세계를 탐험해 보도록 하겠습니다.
 
ps. 제논의 역설과 비슷한 이야기는 화살과 과녁 이야기 또는 토끼와 거북이 이야기가 있습니다. 설명하지 않아도 제논의 역설을 생각하면 아실 것이라 믿습니다. ^^

ps. 추가 : 2007.05.14
이 글은 원래 수학 시리즈를 만들기 위해 작성한 초기 글 중 하나였습니다. 하지만 수학 시리즈는 만들어지지 않았죠. 어제 물리공부를 하면서 제논의 역설에 해당하는 예를 찾아내서 그 글을 올리기 전에 이 글을  다시 올려봅니다. 불친절한 설명의 일부를 추가/수정했습니다. 제논의 역설을 알아야만 이야기가 되는 글이어서 예비차원입으로 올리는 것입니다. ^^

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[타]원의 넓이를 계산하는 것은 비교적 간단(?)한 고등학교 초급적분을 배우면 계산할 수 있다.
현재 알려진 원의 넓이 공식 등등도 적분이 알려진 이후에 계산된 것이다.

타원의 넓이는 원의 넓이보다 더 계산이 복잡한 편으로 이는 계산해 본 사람들은 안다. 그래서 사람들은 타원의 넓이를 직접 계산하기보다는 다른 방법으로 계산하기 시작했다. (방법도 참 가지가지다.) 그 중 한가지 방법은 1차변환을 이용한 계산방법이다.

고등학교 수학에서의 일차변환과 행렬에 대한 정확한 이해를 했다면 이정도는 특별히 설명할 필요는 없을 것이다.
하지만 나에게 고등학교때 이 방법을 사용할 수 있었냐고 묻는다면 자신있게 답할 수가 없다. 아쉽게도 고등학교를 졸업하는 순간까지, 재수한 뒤에도 이를 알지 못했었다. 나도 고등학교를 다니는 동안 어느새 수학을 공식만 외워서 공부하는 과목으로 대하게 됐던 것이 아닌가 하는 생각을 하게 된다.

참고로 이 방식을 이용하면 3차원에서의 타원체 부피, 타원체의 겉넓이 등도 비슷한 방식으로 계산할 수 있다. (행렬의 절대값을 3X3 행렬에서 구해야 한다.)

뭐 아무튼.... 이런 계산방법은 타원 뿐만 아니라 다른 형태의 [공간]도형에 대해 생각할 때에도 알아두면 많은 도움이 될 수 있을 것이다.

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우리나라 수학교과서에서 가르치는 평균은 총 3종류이다.

1. 산술평균
2. 기하평균
3. 조화평균

그런데 왜 저런 이름이 붙었을까??? (혹시 그에 대해 들어본 분 계신가요?)

우리나라 수학에서 저것을 어떻게 가르치는가를 생각해 보면 참 웃기다는 생각이 든다.

이 수식이 뜻하는 것은 무엇일까?? 이 수식의 의미는 단순히 해석학적인 분석이다.
물론 그것이 매우 유용하게 사용된다. 그래서 그것을 우리나라에서는 우습게도 평균 공식들을 모두 최대/최소값 구하는데 사용한다.

다음과 같은 문제의 예이다.

1. 평균값 비교를 이용한 문제

이런 문제들은 x와 y의 움직임을 고려할 때..... 여러가지 풀이방법이 있을 수 있으나 산술/기하평균을 이용하는 것이 가장 쉽다. 글 끝에 다른 방법으로 풀이하는 것을 살펴보자.

위의 풀이방법은 일반적인 풀이방법이다. 정석이나 교과서에서 다루는 지극히 정상적인 방법이다. 그렇다면 다른 방법들은 불편한 것일까? 왜 저 장면에서 꼭 산술평균과 기하평균의 관계에 의존하여 문제를 풀어야 할까?

학생들은 교과과정에서 기하평균과 조화평균을 제대로 다루지 않기 때문에 막상 그것들의 의미도 모르고, 언제 사용하는지도 모른다. 실제로 기하평균과 조화평균을 사용하는 것을 살펴보자.

기하평균은 기하학에서의 평균을 의미한다. 가장 많은 용도는 넓이 구하는 문제가 아닐까 한다.

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옛날에.....
참 궁금해서... 서적 여기저기를 뒤져보던....
고차방정식 풀이....
어떤 녀석이 5차방정식 이상은 풀이가 불가능함을 증명했다지 아마....

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① 카르다노의 책에 실린 타르탈리아의 해법

x^3 + m x = n 풀이

(a-b)^3 + 3 ab (a-b) = a^3 - b^3 일 때
a-b = x, 3 ab = m, a^3 - b^3 = n 이라 하면 됨.
이 때 a, b를 만족하도록 선택한다.

a(+), b(-) = 3sqrt( { ± n over 2 + sqrt { (n over 2)^2 + (m over 3)^2  } }

x= z - b over {3 a}로 치환하면
 a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 은 z^3 + m z = n 으로 변환되므로 모든 삼차방정식이 풀림

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② 비에트의 해법

x^4 = c - a x^2 - b x , 좌변과 우변에 {x^2 y^2 + y^4} over 4 을 더한다.
({ x^2 + {y^2 over 2}   })^2 = ( y^2 - a ) x^2 - b x + ( {y^4 over 4} + c )
우변이 완전제곱식이 되도록 y를 정한다.
조건은 y^6 - a y^4 + 4 c y^2 = 4 a c + b^2 인데 이는 y^2 에 대한 삼차방정식을 풀므로서 구할 수 있다.

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