우리가 고등학교 때부터 배우는 미분이라는 학문은 매우 중요하다. 그리고 이 중요한 요소를 다루는데 있어서 우리는 두 가지 분야가 있다는 것을 알고 있다. 바로 편미분과 전미분이다.
고등학교의 미분은 변수 x와 y가 있을 때 dy/dx 또는 dx/dy로 나타낸다. 여기서 dx와 dy의 분리는 개념적으로는 허용되지 않지만, 실질적으로 분수의 분자와 분모와 같이 생각하고 사용해도 하나도 문제가 될 것이 없다. 고등학교에서는 오직 이러한 미분만 배운다.
고등학교에서 이러한 하나의 미분만 다루는 것은 고등학교에서는 변수를 대부분 두 개만 사용하는 함수를 다루기 때문이다. 물론 꼭 그렇지는 않은 경우도 존재하지만 우리는 그런 경우에도 같은 원리로 해결하라고 학습한다.
함수 f(x,y)가 존재할 때 df/dx나 df/dy를 계산하는 것을 말한다. 일반적으로 df/dx=(df/dy)*(dy/dx)와 같은 형태로 변형해서 계산한다.1
대학교에 들어와서 미적분을 공부할 때 가장 먼저 부딪히는 어려움 중 하나가 편미분의 개념을 받아들이는 것이다. 편미분은 우리가 집중하는 한두 가지 변수 이외의 변수는 마치 상수처럼 취급하는 것을 말한다. 한 편만을 고려한다는 의미에서 우리는 이러한 미분에 편미분이라는 이름을 붙여준 것이다. 고등학교 미분에서 편미분을 다루지 않는 이유가 여기에 있다. 기껏해야 변수 2개만 나오는 고등학교 수학에서는 편미분을 다룰 필요가 없는 것이다.
고등학교 수학에서 편미분을 사용하면 편한 경우가 딱 한 가지 있다. 물론 더 뒤져보면 많이 나오겠지만, 내가 공부하면서 찾은 것은 딱 한 가지 뿐이다.
그것은 공간도형에서 공간상으로 뒤틀린 만나지 않는 두 직선간의 거리(최단거리)를 구할 때 편미분을 사용하면 고등학교에서 배우는 방법2과 비교해서 비교적 쉽게 계산할 수 있게 된다.
편미분과 상반되는 개념인 전미분을 접할 기회가 거의 없는 이유는 우리가 전미분을 접하면서도 전미분이라고 부르지 않기 때문이다. 내가 전미분이라는 말을 처음 들어본 것도 대학교에 입학한 뒤였으니까 일반적으로 전미분이라는 말을 고등학교 이전에 들어볼 기회가 별로 없을 것이다.
전미분은 함수안의 모든 변수를 고려하는 것을 말한다. 예를 한 가지 들어볼까 한다.
뉴턴의 유명한 방정식 하나... 누구나 알고 있는 것이 있는데 'F=ma'라는 것이다. (F는 힘, m은 질량, a는 가속도) 누군가가 가속도의 법칙이라고 불렀었나?
고등학교 3학년 때 미적분 막 배웠을 때 이 공식을 다음과 같이 나타낸다.
아주 자연스러운 것처럼 보이는 이 공식이 사실은 한 가지 문제를 품고 있다고 누가 생각할 것인가? 이 문제는 바로 질량 m이 갖고 있는 문제다. 일반적인 생각으로는 질량은 변하지 않을 것처럼 보이지만, 실제로는 질량이 변하지 않는 것은 별로 없다. 예를 들자면 로켓이 가장 큰 예일 것이다. 거창하게 NASA같은 곳에서 쏴올리는 우주왕복선을 생각할 것도 없이 초등학교에서 만들어보는 물로켓만 생각해도 된다. 물로켓은 날아가면서 물을 뒤로 뿜어내기 때문에 질량은 계속해서 줄어든다. 그러므로 저 공식으로는 물로켓이 날아가는 것을 설명할 수가 없게 된다. 이는 질량 m을 상수로 봤기 때문에 나타나는 현상이다. 옳게 표현하자면....
p = mv = m*(dx/dt)
F = dp/dt = d(m*(dx/dt))/dt = (dm/dt)*(dx/dt) + m*(d2x/dt2)
결국 처음 생각했던 것에 질량이 변화하는 한 항이 더 붙어야 좀 더 제대로 된 결과를 얻을 수 있다. 물론 m이 시간에 대해 변하지 않으면(상수이면) 새로 추가된 항은 0이 되어 앞의 수식으로 되돌아갈 것이다.
위의 예에서 볼 수 있듯이 뒤에 계산한 F를 우리는 전미분이라고 부르고, 앞에 계산한 것을 편미분이라고 부르는 것이다. 앞의 수식에 편미분을 사용하는 것은 은연중에 알지 못하고 사용하는 예라고 할 수도 있을 것이다.
우리는 수학적으로 편미분을 말할 때 ∂3을 사용한다. 앞의 수식을 정확히 표현하자면 다음과 같이 될 것이다.
p = mv = m*(∂x/∂t)
F = ∂p/∂t = ∂(m*(∂x/∂t))/∂t = m*(∂2x/∂t2)
m은 편미분에서 상수로 취급해서 관련항이 사라진(0으로 된) 것이다.
ps.
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전에 이와 관련된 글에 답글을 달았던 사람입니다.(제가 달았던 댓글도 볼 수 없군요.) 제가 댓글을 달고 나서, 갑자기 블로그 운영을 중단하신다고 블로그를 통해 말씀하시길래 제 댓글이 괜히 참견이나 간섭처럼 느껴져서, 불쾌하셔서 그랬다면 사과드립니다.
질문드릴게 있는데, 질문해도 될까요?
예전 글은 삭제했습니다. 그런데 계속 편미분으로 검색해서 들어오시는 분들이 계셔서 새로 작성해서 올린거에요. ^^;
질문하실 것 있으면 질문하세요. 언제나 질문 환영합니다.
그리고 예전에 뭐라 하셨는데요???? ^^;;
주석 1번 부분에대해서, 예전에는 어쨌는지 모르겠지만 지금은 고등학교 과정에서 다변수 함수(z=f(x,y))를 배우지 않는 것으로 알고 있습니다. 저런 공식이 나올 수 있는 이유는 z를 상수(이를테면 0)으로 고정시킨 다음에 y를 x에 대한 함수로 보고 음함수의 미분법을 쓰는 것으로 알고 있어요. 그렇다면 f(x,y)=0에 대해서는 계산이 옳지 않은가요?
예전에, 편미분과 전미분에 대해 몇자 댓글로 긁적였습니다;;
제가 고등학교를 다닐 때도 저런 경우는 거의 없었습니다.
그냥 몇몇 경우에 응용문제에서 나왔다 뿐입니다. (그것도 미분하는 종류의 문제 풀이가 아니라 다른 부분의 문제를 풀 때 미분을 사용하면 쉽게 풀리는 유형이었습니다. 고등학교 과정의 편미분에 대한 대표적인 예를 하나 포스팅 준비하고 있습니다만.)
그리고 요즘 교과서에선 저런 비슷한 것이 없어졌더군요. 아예 관련될만한 내용이 나오는 부분은 모두 없어졌어요. 그래서 legendre님의 말씀이 맞다고 생각됩니다.
옳지는 않지만, 극히 제한적인 상황에서만 맞는 것이니까요. ^^;
ps. 제가 기억력이 극도로 나쁘므로 이전 문제는 잊으셔도 됩니다. 아주 극히 이례적으로 기억하는 경우가 있긴 하지만...^^