5월의 작은 선인장

3.1 수학적 능력의 종류
  앞에서 나는 수학의 분야에 대해서 크게 3종류로 나뉜다고 말한바 있습니다. 그럼 그 분야별로 인간이 타고나는, 혹은 길러지는 능력이 무엇이 있는지 살펴보도록 해 보겠습니다.

3.1.1 기하학의 경우
초등학교에 나오는 ‘나무 쌓기’라는 수학의 한 단원이 있습니다. 일반적인 아이들은 어렵지도 쉽지도 않게 문제를 해결해 나갑니다만, 특별한 경우를 살펴볼 수 있습니다.

첫 번째로, 전혀 거리낌 없이 문제를 풀어내는 형입니다. 이 유형은 나무 쌓기 뿐만 아니라 일반적인 공간 지각력이 뛰어나서 3차원 분석을 잘 하는 유형이라고 생각할 수 있습니다. 성차별적 발언을 하고자 하는 것은 아니지만 일반적으로 이런 유형의 초등학생들은 주로 남자아이들이 많습니다.

두 번째로 살펴볼 유형은 아무리 살펴보고 고민하고, 심지어는 주변인들에게 설명을 들어도 이해하지 못하는 형들이 있습니다. 이들은 직접 나무토막들을 가져다가 쌓아놓고 설명을 해도 이해하지 못하는 경우까지 있는 것을 봐서는... 공간지각력 부분에서 상당히 둔재임을 알 수 있습니다.
이런 아이들은 성인이 된 다음에도 공간 지각력에 어려움을 호소하는 경우가 많습니다.

세 번째로 살펴볼 유형은 공간 쪽에서는 쉽게 해결을 하지만(예를 들어 나무 쌓기에 사용된 나무토막 개수를 세는 것은 쉽게 하면서도) 그것을 앞이나 옆, 위에서 볼 때의 모습을 묻는 질문을 잘 해결하지 못하는 경우가 많습니다. 이런 유형의 아이들은 처음에는 어려워하다가, 학습을 장기간 하면 점차 적응해 가는 모습을 보입니다(그렇다 해도 쉽다고 말하지는 않더군요).

네 번째 유형은 흔치 않은 경우인데, 쌓은 나무의 모습을 보고, 앞, 옆 등에서 본 모습은 잘 그리면서, 반대로 앞이나 옆모습 등을 본 후에 쌓여 있는 나무의 모습을 상상하는 것은 굉장히 어려워하는 사람들이 있습니다.

물론 이 이외에도 상당수의 많은 유형들이 있을 테지만, 생략해도 이야기를 전개하는 데에는 큰 무리는 없을 것 같습니다.

지금까지 말한 것을 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

다시 말해서 일반적은 기하학을 잘 하기 위해서는 공간 지각력과 도형감각이 필요합니다. 또한 이를 뒷받침하기 위한 변환능력이 큰 비중으로 차지하게 되는데, 이 둘을 각각 시험하면 쉽게 해결하는 문제들도, 혼재하는 문제를 출제하면 해결하지 못하는 학생들이 있기 때문입니다.

또한 이 이외에도 다른 능력이 있을 수 있습니다.(앞 두 능력을 포함하여 순서를 생각하겠습니다.)

세 번째가 회전판단능력입니다. 쉽게 이야기해서 군대에서 행진 시에 우향우를 한다고 생각해 봅시다. 그러면 1개 소대에 꼭 1명 정도는 반대로 도는 사람이 있습니다. 이 경우는 극단적인 경우이며, 이 정도는 아니라도 학습에 지장을 주는 정도로 재능이 부족한 아이들은 꽤 있습니다.

네 번째에는 도형(공간도형, 평면도형) 인지 능력이 있습니다. 모든 것을 잘 해결하지만 빨리 처리하지 못하는 아이들은 이런 능력이 결여되었을 가능성이 많습니다. 제 친구 중에 한명은 다른 부분에서는 크게 능력이 뛰어나 보이지는 않는데, 수많은 물건들 속에서 원하는 물건을 빨리 찾아내는 능력을 갖고 있는 친구가 있습니다. 그런 류의 사람들은 도형을 빨리 인식시키는 능력이 탁월합니다.

다섯 번째는 도형(공간도형, 평면도형) 기억력이 있습니다. 다시 말해서 지도를 외운다거나 혹은 도형의 정확한 모양을 외우는 등의 능력이 뛰어난 사람이 있습니다. 또 이와 비슷한 능력으로 도형 비교능력이 있습니다. 이 능력은 두개 이상의 도형을 비교하는 능력입니다. 일반적인 수학을 공부하는데 있어서는 크게 필요치 않은 능력이라 생각되지만, 좋아서 나쁠 것은 없습니다.

여섯 번째로 도형 단순화 능력도 있습니다. 도형이 문제에 주어지거나, 실생활에서 나타날 때에는 꽤 복잡한 형상을 띄는 경우가 있는데, 이것을 최대한 빠르게 필요한 모양만 남기고, 필요 없는 것을 제거하는 능력을 말합니다. 이 능력은 실제로 꽤 중요합니다.(일반적으로 보조선을 잘 긋는 분들은 이 능력이 뛰어난 것이 아닌가 싶습니다.)

일곱 번째이자 마지막 능력은 도형 단순화 능력의 반대로 도형의 세부적인 인식 및 판단 능력도 있습니다. 일반적으로 어떠한 시각적인 것을 봤을 때에, 우리가 알고 있는 것으로 잘못 받아들이는 경우가 많습니다. 일반적으로 우리 두뇌가 편리하고, 쉽게 정보를 처리하기 위해서 이렇게 변형시키는 경우가 많지만, 때로는 꼭 필요한 정보를 놓치게 만드는 경우도 많습니다. 이럴 경우에는 그런 능력을 제거하는 능력이 좋아야겠지요.^^ 일반적으로 화가들이 이런 능력이 좋을 것이라고 생각됩니다.

3.1.2 해석학의 경우
해석학이란 것은 말 그대로 숫자(혹은 그에 해당하는 것)을 계산하는 능력을 말합니다. 물론 꼭 계산에 관여된 능력만이 있는 것은 아닙니다만….

초등학교에서 수학을 잘 하는 아이들의 특징은 바로 이 해석학의 능력이 뛰어나다는 것입니다. 기하학은 굉장한 재능을 갖고 있는데, 해석학을 잘 하지 못하는 아이들은 대부분 성적을 잘 받지 못하더군요.
해석학 중에서도 수치계산능력이 좋은 아이들일수록 초등학교 때 수학을 잘 합니다.

한 번씩 능력의 종류를 추려보도록 하겠습니다.

첫 번째로 규칙 유추능력이 있습니다. 가장 극명하게 드러나는 분야는 아무래도 수열이 아닐까 합니다. 수열은 몇 개의 수를 보고, 다음 수가 무엇인지 찾아내는 수의 배열에 있어서의 규칙성을 알아내는 것입니다. 또한 귀납법과 연역법을 적절히 이용해서 그 규칙성을 일반화 하는 능력을 말하죠.

두 번째에는 수의 가치적 크기 추론 능력이라고 저 스스로 이름을 붙였습니다. 그것은 수 하나하나의 객관적 가치 추론이 아닙니다. 그때그때의 상황(문제)에 따라서 하나의 수가 가지는 중요성이 변화하게 됩니다. 그러한 변화되는 수의 크기는 문제마다 틀려지게 되며, 그것을 빠르게 인식할수록 문제를 푸는데 더 쉽게 답에 접근해 갈 수 있습니다.

세 번째는 자료의 유기적 결합 능력입니다. 다시 말해서 여러 가지의 자료들이 주어졌을 때 그 자료들 사이의 관련성을 파악하는 속도를 말합니다. 이 능력은 수학뿐 아니라 일반적인 공부를 하는데 매우 필요한 부분인 것은 다들 잘 아시리라 생각합니다.

네 번째는 계산능력입니다. 계산능력은 둘로 나눌 수 있으며, 그 둘 중에 하나는 수치계산능력입니다. 이 능력이 좋으면 초등학교 때에 수학을 잘 할 수 있는 기본이 됩니다. 하지만 중학교 이후에는 크게 영향을 주지 못합니다. 습관이 될 때까지 가르친다는 학습지의 cf를 볼 수 있었습니다만 이는 크게 잘못된 교육방법이라고 할 수 있습니다. 중학교 이후에는 계산속도가 수학실력에 그리 크게 영향을 주지 못하기 때문입니다. 또 두 번째 계산능력은 수식 계산능력입니다. 이 두 능력은 크게 다른 듯 하면서도 많이 비슷한데, 생각 외로 수치 계산을 잘 하는 아이들이 수식계산을 못하는 것을 자주 볼 수 있습니다.

이 정도에서 해석학에 필요한 능력의 열거를 마치도록 하겠습니다.

3.1.3 수학을 공부할 때 전반적으로 필요한 능력들
이제부터는 전반적으로 필요한 능력들을 알아보겠습니다.

첫 번째로 생각해야 하는 것이 문제 인식능력입니다.
이 능력은 말 그대로 문제를 읽고 정확하게 인식하고 중요한 조건들을 추려낼 수 있는 능력을 말합니다. 초등학생들에게는 그리 중요하지 않은 능력이고, 고학년이 될수록 중요해 지는데, 조건이 많아지면 많아질수록 필요한 능력이기 때문입니다.

두 번째는 리듬 감각입니다.
무슨 리듬 감각일까 궁금해 하시는 분들이 계시겠지만, 음악을 할 때의 그 리듬 감각을 말하는 것입니다. 수학을 잘 하는 분들 중 음치인 분들은 의아하게 생각하시겠지만, 고대 그리스시대부터 근대에 이르기까지의 대부분의 철학자(당시에는 수학, 과학이라는 뚜렷한 인식 없이 모두 철학이라 불렀습니다)들은 음악가이며, 건축가이기도 하고, 화가이기도 했다는 것을 생각해 보시기 바랍니다. 다시 말해서 수학을 잘 하는데 음치인 분들은 스스로를 잘 생각해 보셔야 합니다. 리듬을 잘 못 맞추는 것인지 음정을 잘 못 맞추는 것인지….

세 번째는 새로운 정보 대처능력입니다.
제가 운영체제에 딸려있는 오락인 지뢰찾기(폭탄찾기)를 열심히 하면서 느낀 것입니다만, 오래 지뢰찾기를 하면 시간을 어느 정도 이상 빨리 끌어올릴 수 있습니다. 모든 상황에서 숫자를 보고 폭탄 위치를 파악할 수 있게 된다면(혹은 확실히 알 수 없음을 알아낼 수 있다면) 전문가용으로 되어있는 것을 150초대에 끝낼 수 있습니다. 하지만 그 이내로 기록이 들어서기를 원할 때 한 가지 필요한 능력이 바로 이 능력입니다. 지뢰찾기를 하다보면 한쪽을 해결하다가 다른 쪽을 해결하기 위해 눈을 돌려야 할 때가 있는데, 새로운 곳의 숫자와 폭탄들의 위치를 보고서 다시 폭탄위치를 계산하는데 걸리는 시간이 생각보다 많이 들어서 이런 작업을 줄여야만 시간을 단축시킬 수 있었습니다(저는 이쪽 능력이 좀 부족합니다). 이처럼 새로운 상황에서 문제를 대처하는 능력은 절대적으로 필요합니다.

네 번째는 대략적 대처능력입니다(이쪽 능력의 이름을 잘 모르겠군요. 그래서 그 내용을 장황하게 설명해야 할 듯 합니다). 일상생활에서나 수학 속에서 문제를 풀 때에, 정밀하게 생각하고 답을 구할 때에는 많이 복잡한 경우가 많습니다. 그럴 경우에 일반적으로 답을 구하기 위해서는 근사를 사용하는 경우가 많습니다. 수학을 공부하다보면 누구나 느끼는 것이지만, 새로운 상황에서 근사를 적용하는 것은 잘 하는 분들도 쉽지 않은 것이란 것을 아실 것입니다. 따라서 이러한 능력이 풍부한 사람들은 수학문제 풀이에 유연성과 여유를 가지고 한 번 더 생각하는 노련미를 보일 수 있습니다.

다섯 번째로 필요한 능력은 사람들의 기본능력인 인내심입니다.
보통 수학계산을 한번 시작하면 하루 이틀 이상 걸리는 것도 허다하기 때문에, 어려운 수준으로 갈수록 인내심이 큰 요인으로 작용합니다.

여섯 번째로 필요한 능력은 종합 대처능력입니다.
위에서 말한 모든 능력(모두 16가지) 중 어떤 것을 사용할지 판단하는 능력을 말합니다. 예를 들어서 쉽게는 안 풀리는 어떤 문제가 있다고 가정할 때 어떻게 문제를 풀어야 할까를 생각해야 합니다. 지금 계산하는 것을 잘 안 풀려도 계속 풀어야 할지, 아니면 이 방법을 버리고, 새로운 풀이방법을 모색해야 할지 등을 판단하는 능력을 말합니다. 세기적인 천재들의 세기적인 연구결과들 중에서 예전에 연구하던 것을 그 당시에 해결하지 못하고 훗날 우연히 그것을 보고 풀이방법을 생각해 내는 것은 바로 이 종합 대처능력이 부족하기 때문에 일어나는 현상이 아닐까 생각해 봅니다