5월의 작은 선인장

수학에서의 분야와 종류

1. 들어가면서....
예전에 수학의 분야에 대해서 크게 나눌 때 기하학, 해석학, 개념으로 나눈다는 글을 적성한 적이 있습니다.
이 글을 본 어떤 학원을 운영한다는 분이 제 블로그에서 개념을 좀 더 구체적이고 자세히 설명해 달라고 요청했던 적이 있었습니다. 그래서 거의 1년 정도 지난 지금에 와서야 겨우 개념에 대한 글을 작성합니다.

2. 수학이란?
수학이 무엇인지 알 수 있어야 개념이 무엇인지 설명할 수 있을 것 같습니다.
수학을 한마디로 정의하자면 '자연(또는 현실)으로부터 공통점 찾기'라고 설명할 수 있습니다. 예를 들어보면 아프리카의 국립공원 밀렵감시원은 동물들도 잘 보살펴야 합니다. 동물들을 잘 보살피려면 동물들을 잘 알아야 하고, 동물들을 끊임없이 관찰해야 합니다. 일반적인 동물들은 괜찮은데 사자와 같은 맹수를 관찰할 때는 문제가 발생합니다. 맹수들이 공격할 수도 있으니까요. 감시원들은 경험을 통해 사자들에게 어디까지 다가가야 사자가 공격하지 않는지를 알아낼 수 있었습니다. 이런 것이 바로 수학입니다. 감시원들은 ‘사자’라는 자연의 공통점을 알아낸 것이지요.
수학을 더 세부적으로 정의하는 문장들도 있습니다.
  "수학은 일반적인 현상을 수리화 시키는 능력이다."
  "수학은 문장해석력과 계산력을 함께 응용하는 능력이다."
  "수학은 사회현상과 자연현상을 보는 것!"
이 모든 것은 공통점 찾기의 일부분으로 볼 수 있습니다. 수학자들조차도 수학을 공통점 찾기로 정의한 것은 고작 50년 정도 밖에 안 된 최근의 일입니다.

3. 수학의 시작
예전부터 내려오던 수학을 처음 체계적으로 정리하여 수학의 토대를 쌓은 사람은 아르키메데스로 생각되며, 이 내용은 중간에 유실되었고(나중에 다시 발견됩니다), 후에 유클리드가 다시 수학 체계를 쌓아올리게 됩니다. 유클리드가 만든 수학이 이전 수학과 다른 점은 증명과정에서 연역법과 귀납법의 방법을 사용하였고, 엄격한 절차를 사용한다는 것입니다. 물론 요즘 사용하는 수학적 처리과정은 모두 유클리드의 방법을 따르고 있습니다. 반면 아르키메데스가 만든 것은 좀 더 직관을 많이 사용하는 방법입니다. 물론 어떤 체계가 더 낫다고 이야기하기는 힘들고, 유클리드의 수학이 좀 더 논리적이어서 치밀한데 비해서 아르키메데스의 수학이 좀 더 직감적이고 낭만적인 면이 있습니다.

4. 수학의 구성요소
간단히 말해서 수학의 구성요소를 따질 때는 수학과의 학부/대학원 과정의 과목을 적으면 될 것입니다. 하지만 저는 다른 시선으로 바라보고자 합니다.
수학은 크게 세 부분으로 나눠지고, 그것을 세분화하여 몇 가지로 더 나눌 수 있습니다.
우선 수학은 기하학과 해석학과 개념으로 나눌 수 있습니다.
기하학과 해석학은 서로 보완적인 것이면서 서로 독립적인 것이라고 할 수 있습니다. 따라서 기하학으로 쉽게 풀리는 문제가 있는 반면, 해석학으로 쉽게 풀리는 문제도 있고, 반대로는 아예 풀리지 않는 문제도 있을 수 있습니다.
기하학은 그리 크게 여러 분야로 나누어지지는 않습니다. 물론 분야를 세부적으로 나누기는 하지만, 하나만 잘 하면 나머지는 크게 개의치 않아도 될 것입니다. 못하는 부분은 잘하는 부분의 능력으로 보충이 가능할 테니까요. 기하학에 타고난 사람은 관념적인 기하학인 다차원 기하학도 쉽게 처리할 수 있다고 생각됩니다.
해석학은 말 그대로 숫자들을 해석하는 것입니다. 이 해석학에는 다시 함수론(이산수학)과 미적분학이 포함되어 있습니다. 물론 세부적으로 나누자면 몇 가지 더 추가할 수도 있겠지만 전 이렇게만 나누겠습니다.
개념이라 하면 우리가 일반적인 생활로는 쉽게 깨달을 수 없는 수학적으로 도입된 기술 방법들을 말합니다. 우리가 중·고등학교에서 사용되는 삼각형, 사각형, 원(타원)등의 성질부터 시작해서 미적분, 포토로지에 이르기까지 다양한 방법이 있음을 알 수 있습니다. 학생들에게 있어서 수학 실력을 기르는데 가장 큰 걸림돌이 되는 것이 바로 이 개념의 정립이라고 할 수 있습니다.

5. 개념이란 무엇인가?
해석학과 기하학은 비교적 이해가 쉽지만 개념은 이해가 잘 되지 않는 것이므로 좀 더 구체적으로 설명하겠습니다.
개념은 자연의 공통점으로부터 기하학, 해석학적 방법들을 도출해 내는 과정입니다. 따라서 수학을 공부하기 전에 개념을 제대로 잡지 않으면 당연히 기하학과 해석학을 제대로 사용할 수 없습니다. 기하학과 해석학을 만든 사람들이 사용한 방법들을 통해 개념을 정립해 나갈 때 비로소 쉽게 수학을 공부할 수 있습니다.
해석학은 크게 미적분학과 이산수학(함수론)으로 나눌 수 있습니다.
미적분학은 뉴턴과 라이프니츠가 고안해 낸 개념에서 출발하였고^[각주:1] 지금까지 조금씩 개념이 확장되고는 있지만 그 출발점에서 크게 벗어나지 않고 있으며, 현대 과학문명은 이 미적분학을 토대로 발전된 것이라고 해도 과언이 아닙니다. 한번 정확히 개념 잡은 미적분학은 거의 변화하지 않고 어려운 난이도까지 응용할 수 있으므로 수학을 공부할 때 '반드시-열심히' 공부해야 하는 부분입니다. 엄격히 물리학이나 공학을 공부할 때 필요한 수학의 90%는 미적분학이라 할 수 있습니다.
이산수학은 미적분학처럼 따로 출발한 때가 있는 것이 아니라 고대로부터 차츰 발달해 왔습니다. 여러 가지 문제들마다 새로운 개념을 적용시켜야 하므로 이산수학을 조금만 잘 해도 천재란 소리를 들을 수 있습니다. 이산수학은 현대 과학문명보다 현실 생활에 더 많이 응용할 수 있습니다. 이산수학의 심오하면서도 대표적인 예들은 우리 일상생활의 곳곳에 널려있습니다.
우리가 매일 타고 다니는 자동차의 교통신호에서부터 교통흐름을 연구하고, 더 원활한 교통흐름을 위해 그것을 분석하고, 도시계획을 하는 것들이 모두 이산수학의 일부분이라고 할 수 있습니다. 디자이너들이 사람들의 생각을 읽어 더 멋지게 보이는 옷이나 제품을 만드는 것도 일종의 이산수학이라 할 수 있습니다. 이런 분들의 경우 수학실력에 상관없이 특정분야의 수학만을 잘 하게 된 것이겠지요. 또 이산수학으로서 우리 주변에 존재하는 재미있는 것이 게임입니다. PC에서 하는 스타크래프트를 비롯해서 바둑, 장기, 체스 등의 보드게임들도 이산수학이고, 고스톱이나 경마 같은 것도 이산수학의 한 분야라고 할 수 있습니다. 어떤가요? 이산수학의 쓰임새가 참으로 다양하다는 것을 아셨을 겁니다.
수학계에서 전설적인 천재 수학자인 폴 에르되시의 경우는 이산수학의 대가이며, 물리학계의 전설적인 천재인 리차드 파인만의 경우는 미적분학의 대가입니다. 파인만이 만든 파인만 적분론은 지금도 한참 발전하고 있습니다. 그리고 저도 공부해 보려고 했지만 너무 어려워서 실패했습니다. 지금도 제 책꽂이 안에서 저를 바라보며 ‘어때 오늘도 한판 할까?’ 하고 절 내려다보고 있답니다.
수학의 본질이 자연 속에서 공통점을 찾는 것이라면 문제풀이는 그 개념을 통해서 공통점으로부터 실생활의 문제를 해결하는 것이라 할 수 있습니다. 따라서 수학공부는 1차적으로 공통점을 찾는 방법을 배우고, 공통점을 찾는 방법을 역으로 이용해 실생활 문제를 해결하는 방법을 배우는 것입니다.

(자연으로부터 공통점 발견)                      (공통점으로부터 문제의 해결)

얼개에서 보면 알겠지만 개념은 우리가 자연을 수학적으로 접근하는 패러다임입니다. 그리고 해석학과 기하학은 수학을 생각하는 도구입니다. 도구는 우리의 삶 속에서 사용하는 언어와 같은 것이라고 보면 됩니다. 뒤집어서 수학도 일종의 언어입니다. 단지 예외가 전혀 없는 좀 특이한 언어라고 할 수 있을 것입니다.

수학공부라는 것은 자연을 바라보는 패러다임을 배우는 것이라고 할 수 있습니다. 그리고 수학을 연구하는 사람들은 패러다임과 도구를 만드는 사람들이라고 할 수 있습니다.

6. 수학을 타고난 아이들
내가 의도적으로 수학을 3개의 부분으로 나누면서 각각 좌뇌와 우뇌를 대표하는 해석학과 기하학을 이야기한 것은 아닙니다. 하지만 수학을 분석하다보니 이런 결과가 나타났습니다.
좌뇌에서는 거의 대부분의 해석학을 처리하는데, 해석학의 논리적 치밀함은 거기에서 온다고 생각되고 있습니다. 우뇌에서는 거의 대부분의 기하학을 처리하는데, 기하학의 처리에 있어서는 직감과 공간적인 창의성으로 그 특징을 요약할 수 있습니다.
반면 개념을 담당하는 부분은 좌뇌와 우뇌에 나뉘어서 분포하게 되는데, 우뇌에서 문제의 인식을 시작해서 좌뇌에서 기존의 지식에 맞게 처리하고 언어적 개념으로 변환하여 문제의 인식을 마무리하게 됩니다.
결론적으로 쉬운 문제들이야 별 상관이 없지만, 어려운 문제일수록 치밀한 분석과 직감적으로 기하학적인 접근, 그래프적인 계산이 반드시 필요합니다. 이 두 가지를 빠르게 처리하기 위해서는 어느 정도 타고 날 필요가 있다고 생각됩니다.
좌뇌와 우뇌도 물론 각각 충분히 발달되어야겠지만 이 두 뇌를 연결해주는 뇌량도 충분히 발달되어야 합니다. 그렇기 때문에 우리 사회에서 진짜 수학을 잘 하는 사람들은 매우 드문 일입니다. 이렇게 우리 뇌가 수학이나 과학을 하기에 완벽한 준비가 된 사람들을 우리는 ‘타고났다’고 하고, 때로는 ‘천재’라고 말합니다.

7. 경기도 교육청의 19단 교육
작년 경기도 교육청에서 19단 교육을 한다고 갑자기 발표했습니다.
인도사람들이 수학을 신기할 정도로 잘 한다는 것은 익히 알려진 사실이죠. 경기도 교육청이 19단을 외우게 한 표면적인 이유는 인도에서 19단을 외우게 하기 때문이라고 합니다.
19단이면 구구단보다 암기해야 할 내용이 4배나 됩니다. 수학을 잘 할 수 있는 능력은 수를 잘 이해하는 능력이지 암기한다고 되는 것도 아니고, 숫자 10개를 쓰고, 읽을 줄 안다고 되는 것도 아닙니다. 다시 말해서 진짜 수에 대한 이해를 얼마나 잘 이해하고 있는지, 그 변화에 대해서 얼마나 민감하게 이해하고, 그 공통점들을 알아낼 수 있는지가 수학공부의 출발점이 됩니다.
그래서 수학을 위해서는 피아노와 같은 리듬악기를 어렸을 때 배우는 것이 좋습니다. 하지만 그 무엇보다도 수에 대해 많은 경험을 하는 것이 수에 대한 감각을 배우는데 중요하다고 할 수 있습니다.
19단을 외우게 되면서 숫자들이 곱해지는 이치를 좀 더 익히게 될지도 모릅니다. 하지만 9단까지 외우는 것도 무척이나 힘든 초등학교 저학년에게 19단을 외우게 한다는 것은 숫자들의 이치를 알게 되는 것보다 숫자들의 나열을 머릿속에 억지로 집어넣는 일 밖에 되지 않을 것입니다. 제가 어렸을 당시 숫자에 대한 감각이 어느 정도 잡혀있지 않았다면 저는 구구단을 외우는 순간부터 수학을 굉장히 못하는 사람이 되었을 것입니다.
19단을 외우게 된다면 수학에 대한 이해보다는 단지 암기를 좀 더 많이 시키는 것 이상의 효과는 없을 것이라고 단언합니다.

8. 선수학습과 조기교육에 대해서
학원에서 수업하는 것은 선수학습이라고 합니다. 학교에서 가르치는 내용을 1달 정도 더 일찍 배우게 해 내신 성적을 올려주는 것으로 학원을 안 다니는 학생들과 비교했을 때 확실히 효과가 있는 것처럼 보이지만 진짜 효과가 있는지는 좀 논의해 봐야 하겠습니다.
가장 가시적으로 나타나는 현상은 선수학습을 배움으로서 학교교육에 재미를 못 느낀다는 것입니다. 더군다나 학교 선생님들의 권위가 떨어지는 것 또한 큰 치명타라고 할 수 있습니다. 더불어 자기 스스로 깨닫고 공부하는 방법을 못 익히게 됨으로서 차후 계속 학원에 얽매이게 되고, 시간이 지나면서 점차로 학습효율이 떨어지게 되면서 결국 고3때가 되면 학원에서 앞서가던 효과가 거의 사라지게 됩니다. 따라서 선수학습은 여러 가지 면에서 좋지 않은 교육방법입니다.
조기교육에 대해서도 한번 생각해 봐야 하겠습니다.
이스라엘에서는 만 3세 때부터 의무교육을 시작합니다. 만 3세는 개인이 가지고 있는 기억들이 시작되는 때입니다. 보통 사람들의 기억은 만 3세, 즉 우리나라 나이 4세부터입니다. 그리고 매우 적은 소수의 사람들이 만 2세 이전의 기억을 가지고 있을 뿐입니다. 그렇다면 만 3세부터 하는 이스라엘의 교육은 어떤 의미가 있을까요? 이는 사회성에 연관되어 잠재의식 속에서 작용하는 인성의 수양 의미가 있다고 보여 집니다. 다시 말해서 지식적인 차원의 교육은 아니라는 말입니다. 그렇다면 조기교육을 함에 있어서 어떤 것을 가르쳐야 할까요? 이스라엘처럼 너무 심하게 사회화를 몰고 가는 것을 바람직하다고는 보지 않습니다. 교육방법은 여러 가지가 있고, 이스라엘의 방법은 좋은 한 방법이라고 말하고 싶습니다. 확실한 것은 너무 어렸을 때부터 지식적 학습을 시키면 나중에 진짜 뛰어난 지식인이 될지는 모르겠지만 뛰어난 성품을 갖는 사람이 되기는 힘들어진다는 것입니다.
세계적인 천재들이 언제부터 공부를 했는지 생각해 보십시오. 가우스 같은 사람이야 3살 때 아버지의 목말을 타고 아버지가 운영하던 회사의 회계 계산을 하는 것을 보면서 틀린 부분을 지적했다고 하는데 이런 것은 가르친 것이 아니라 스스로 터득한 것입니다. 천재로 불리던 아인슈타인과 뉴턴의 경우도 조기교육을 받지는 않았습니다. 둘 다 인격적으로 훌륭하지 못했던 것도 사실이고…. 마지막 과학자라로 일컬어지는 파인만은 2차 세계대전 중에 초등학교에 다녀와 먹고 살기 위해 일을 해야 했습니다.
‘내 자식이 천재는 아니잖아’라고 생각하시는 분이 계시다면 그것처럼 비극은 없을 것입니다. 세상에 천재는 없습니다. 위에 예로 든 네 명의 천재들은 결과적으로 천재라는 것이지, 처음부터 천재는 아니었습니다. 처음 출발선은 모두 같습니다. 조기교육을 하는 시간에 먼 미래까지 아이를 이끌어주고 지탱할 기둥을 만들어주는 것이 중요합니다. 처음부터 건물을 쌓으려고 하면 사상누각이 될 뿐입니다.
조기교육을 운운할 시간에 차라리 부모들이 공부하는 모범된 모습을 아이들에게 보여주십시오.  학자들의 집안에 학자 자녀들이 괜스레 나오는 것은 아닙니다. 그러한 본보기와 목표가 있었기 때문에 가능한 것입니다.

9. 미래를 위한 교육
보편적으로 수학은 우뇌가 발달해야 잘 할 수 있다고 이야기합니다. 직감적이고 창의적인 아이들이 일반적으로 수학을 잘 하는 것이 사실입니다. 하지만 진짜 수학을 잘 하기 위해서는 좌뇌의 치밀한 논리성도 그에 못지않게 중요합니다. 즉 진정한 고수가 되기 위해서는 우뇌뿐 아니라 좌뇌의 발달도 무척이나 필요하다는 이야기입니다. 우리나라 사람들이 보편적으로 수학을 잘 하는 것은 우리나라 사람들이 우뇌가 기본적으로 다른 민족보다 더 발달했기 때문이라고 생각되지만 세계에서 최고 수준의 수학자들이 우리나라에서 나오지 않는 이유는 좌뇌의 치밀함을 체계적으로 교육시키지 못하기 때문이라고 생각됩니다.
반면 우리가 일상생활에서 필요한 정도의 수학을 공부하기를 원한다면 별반 신경 쓸 필요가 없습니다. 누구나 고등학교 수학 정도는 공부할 수 있으니까요. 고등학교 수학을 못한다는 것은 시의 적절하게 교육을 받지 못했기 때문입니다.
아인슈타인은 어려서부터 수학과 과학에 굉장한 재능을 선보였지만, 막상 최고수 반열에 오른 20대 중반 이후에는 수학이 약하다고 지적받고 있다는 것을 참고해 주십시오. 아인슈타인도 어려서는 우뇌만을 사용해서 수학과 과학을 잘 할 수 있었지만, 최고 수준의 수학과 만나자 좌뇌의 치밀한 논리적 능력 부족 때문에 약점을 노출했다고 볼 수 있습니다. 그래서 아인슈타인의 두 번째(공식적으로는 첫 번째) 부인이 아인슈타인을 만들었다 해도 과언이 아닐 것입니다. 두 번째 부인이 아인슈타인의 초기 논문들의 수학적 계산을 모두 해주었기 때문입니다(두 번째 부인은 아인슈타인과 대학교 동기동창으로 수학을 아주 잘 했다고 합니다).

10. 교육에 있어서 가장 중요한 것은?
아무리 생각해도 수학교육에 있어서 뿐만 아니라 어떠한 교육에서도 가장 중요한 것은 학생 혹은 자녀의 흥미가 아닐까 합니다.
아무리 체계가 뛰어나고, 학부모나 선생님이 열심히 잘 가르친다고 해도 학생이 받아들이기를 거부하면 물거품이 될 테니까요. 성경에 보면 '양 떼를 물가로 인도할 수는 있지만 양 떼에게 물을 먹여줄 수는 없다'는 이야기가 있습니다. ‘교육’이란 것도 이와 같은 것이 아닐까요? 교육을 하면서 자녀에게 지식을 가르쳐주려고 해서는 안 될 것입니다. 양 떼의 입에 물을 떠서 억지로 넣어주는 것과 별로 차이나지 않는 일이라고 생각합니다. 자녀를 키우시는 분들은 항상 고민에 고민을 해야 할 사항이라고 생각합니다.

11. 맺으면서…
주변에 타고난 아이들이 있을 때는 전문가에게 상담을 의뢰 하십시오. 단, 학원이 아닌  진짜 전문가를 찾아야 할 것입니다.
정부에서는 학부모들에게 자식교육에 대해 상담을 해 주는 기관을 만들어야 하지 않을까요? 그리고 우리나라 교육정책에서도 전체적으로 잘 하는 사람뿐 아니라 부분적으로 천재적인 사람들도 재능을 키울 수 있도록 바뀌어야 한다고 생각합니다.