5월의 작은 선인장

그림과 같은 정사각형의 땅에 네 채의 집(□)과 네 채의 오두막(▲)이 있다. 이 땅을 같은 형태, 같은 면적의 네 부분으로 나누어 집과 오두막이 각각 하나씩 들어갈 수 있도록 하려면 어떻게 하면 좋을까.

(제한시간 7시간)

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항상 그렇지만......
이런 문제를 처음 받아보면 난감할 때가 많다.
문제를 푸는 열쇠는 누가 규칙성을 정확히 찾아내느냐 하는 것이다.
이런 문제는 수학적인 공부(특히 이산수학)에 도움이 되므로 많이 풀어봐도 나쁠 것이 없다고 생각된다.

처음 이 문제를 들여다보고서  10분간 생각해 보고서 규칙성을 한 가지 알아냈다.
4개로 균등하게 나누려면 (그것도 모양도 똑같이...) 단순한 모양이거나 다음 규칙을 따라야 한다. (그런데 단순한 모양은 집과 오두막을 한채씩 포함시켜야 한다고 하니 답이 있을 수 없다.)


그래서 위 그림을 가로, 세로 각각 16칸으로 나눴다. 그리고 그 선분과 선분이 위치한 곳에 집과 오두막을 배치!
또 중심을 기준으로 대칭될 것이기 때문에, 대칭되는 점에 각각의 오두막과 집이 있다고 가정해도 전혀 이상할 것이 없다.
따라서 이 문제는 각 대각선을 따라서 8개의 오두막과 8개의 집이 늘어서 있는 문제로 바뀔 수 있다.

여기까지 생각이 미쳤으면 거의 다 풀린 것이다. 집과 오두막을 같은 것으로 보면....
각 귀퉁이(혹은 중심)에서부터 첫번째, 두번째, 세번째, 네번째로 이야기했을 때 각 순번에 해당하는 것을 하나씩 포함할 것이다.

따라서 시작점을 첫번째에서 시작했다면 (특별한 경우가 아니라면 이렇게 생각하는 것이 당연히 쉬울 것이다.) 다음번에 가야 하는 집은 두번째, 세번째, 네번째 집이 될 것이다.
이런식으로 갈 수 있는 경우의 수는 3! = 6가지 밖에 안 된다.

여기까지 생각했으면 1분 안에 풀릴 것이다.

수학은 공통점 찾기다. 땅나누기를 떠나서... 집과 집을 연결하는 문제로 바꿈으로서 아주 쉬운 풀이방법을 생각해 낼 수 있게 된 것이다.

※ 나의 풀이방법은 중심대칭이고, 모두 중심과 모퉁이를 하나씩 점유한다고 가정하고 문제를 푼 것이다. 하지만 이 가정이 틀릴 수도 있을 것이다. 이에 대해서 한번씩 생각해 봤으면 공부에 도움이 될 듯 하다.
어차피 퍼즐문제는 수많은 가정 속에서 문제풀이가 이뤄지는 것이니까....

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위 문제 출제자이신 toonism님께서 너무 분석적으로 푼 것이 아닌가 하시는 말씀을 남겨주셔서 제가 30분동안 푼 그림을 사진으로 찍어서 올려봅니다.


첫번째 그림은 일단 네모를 잡고서 각 귀퉁이와 중심에 대해서 한참 생각한 그림입니다. 그림에는 별것이 없다고 생각하실지 몰라도 실제 저 그림을 그리는데 약 10분정도 걸린 것 같습니다.

두번째 그림은 이를 토대로 각 연결될 수 있는 방법을 이리저리 강구해 본 것입니다. 이렇게 시도해 보면서 어떤 모양에서 전체를 유연하게 나눌 수 있는지, 이런 조건에서는 짜투리 땅이 남게 되는지를 알아냅니다. 이런 과정을 거처 처음부터 답에 상당히 접근한 시도를 했던 것을 알 수 있습니다.
퍼즐 문제에서는 내가 하고 있는 것이 답이라는 확신이 상당히 중요합니다.

드디어 대칭점 부분에도 무언가 있으면 사고가 쉬워지고, 답에 접근하는 체계적인 방법을 구상해 내기 쉽다는 것을 발견해 냈습니다.
이 그림에 존재하는 정답과 같은 시도는 아직 답이라는 인식을 하지 못한 상태입니다. ^^;
6가지 시도를 머리속으로 다 해봤다는 것을 발견할 수 있습니다.




네 귀퉁이를 대상으로 해서 한 단계씩 똑같이 움직여 봄으로서 하나씩... 가능성을 줄여서 정답을 찾아냈습니다.

여기까지 약 20분 정도 걸린듯 합니다.
그 후 정답을 컴퓨터 그림으로 옮기는데 10분정도....
도합 30분이 걸렸습니다. ^^;




toonism님 블로그에 댓글로 올려놨지만....
직감과 분석은 일면 같으면서도 다릅니다.
수학에서의 직감이란 어떤 조건을(예를 들어 위의 풀이에서 대칭점에 무엇이 있어야 한다던지) 생각해 내고, 적용해야 하느냐 말아야 하느냐를 판단하는데 사용되는 것입니다. (어려운 문제일수록 이 특징은 더욱 강렬해진답니다.) 따라서 수학문제를 잘 푸는 것은 (암기에 의한 것이 아니라면) 직감이 뛰어남을 알 수 있습니다.

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