옛날에.....
참 궁금해서... 서적 여기저기를 뒤져보던....
고차방정식 풀이....
어떤 녀석이 5차방정식 이상은 풀이가 불가능함을 증명했다지 아마....
① 카르다노의 책에 실린 타르탈리아의 해법
x^3 + m x = n 풀이
(a-b)^3 + 3 ab (a-b) = a^3 - b^3 일 때
a-b = x, 3 ab = m, a^3 - b^3 = n 이라 하면 됨.
이 때 a, b를 만족하도록 선택한다.
a(+), b(-) = 3sqrt( { ± n over 2 + sqrt { (n over 2)^2 + (m over 3)^2 } }
x= z - b over {3 a}로 치환하면
a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 은 z^3 + m z = n 으로 변환되므로 모든 삼차방정식이 풀림
② 비에트의 해법
x^4 = c - a x^2 - b x , 좌변과 우변에 {x^2 y^2 + y^4} over 4 을 더한다.
({ x^2 + {y^2 over 2} })^2 = ( y^2 - a ) x^2 - b x + ( {y^4 over 4} + c )
우변이 완전제곱식이 되도록 y를 정한다.
조건은 y^6 - a y^4 + 4 c y^2 = 4 a c + b^2 인데 이는 y^2 에 대한 삼차방정식을 풀므로서 구할 수 있다.
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언제부턴지 수학 기호가 정말 암호처럼 보이는군요. 제가 '공돌이', 전자과 출신이라는 게 저 자신도 믿어지지 않네요.^^;;;
제가 배운대로 대충 정리하자면 이렇습니다.
어떠한 다항식 f(x)가 풀이 가능하다(solvable)는 건 solvable by radical, 즉 계수가 속해있는 집합의 원소들의 "(유한 번의) 사칙연산과 n승근의 조합"으로 근을 표현할 수 있다는 것을 의미합니다.
그리고 어떠한 5차방정식은 solvable이고, 어떠한 5차방정식은 solvable하지 않습니다.
그래서 정확히는 "유한번의 4칙연산과 n승근의 조합으로 그 근을 나타낼 수 없는 5차방정식이 존재한다"가 됩니다.
아무래도 "풀 수 있다"라는 말을 서로 다르게 해석하신 것 같군요...
암호다 ㅎㅎ..매우 진지한..토론!!, 내가 관심이 있었다면 더 재미있었을 텐데^^
제 생각에는 공식(formula)이라는 것은 모든 경우와 조건에서 만족하는 일반론 같은 것이라고
생각합니다. 5차 이상의 방정식의 공식이 없다는 것은 거기에 딱 맞는 열쇠를 찾을 수없다는 것이죠
그래서 때로는 쉽게 때로는 어렵게 풀리는것으로 까다로운 조건들이 많이 요구된다면 공식이 없다
라고 할 수 있겠죠...