5월의 작은 선인장

당신의 자녀가 수학을 못하는 이유

수학을 하는 머리는 어느정도는 타고 나는 것이 분명한 것 같다.
타고난 사람들은 누가 가르쳐 주지 않아도 스스로 곧잘 해 나간다. 하지만 옛말에 이런 말이 있다.

"수학엄마의 아이는 수학을 못한다."

나의 옛날 글에서 한번 언급했듯이 아이들의 공부 능력은 아버지보다는 어머니쪽을 닮을 확률이 높다. 그러므로 아이는 어머니를 닮았을 가능성이 높으므로 수학을 공부할 재능은 타고났다고 생각해도 좋을터일 것이다. 하지만 어머니는 학창시절에 수학을 잘 했는데, 그 자녀들을 가르치는데 있어서 자신이 올챙이시절 공부하던 방법은 잊고, 자신의 눈높이만 생각하고 가르침으로서 의욕을 상실하게 되어 수학을 못 한다는 의미이다. 뭐 그리 오래된 옛말은 아닌듯 하다. ^^
이처럼 아이들이 수학을 잘 할 수 있는 머리를 타고났다 하더라도  환경에 따라서 공부의 결과가 천차만별로 달라질 수 있게 된다.

학생들이 공부할 때 성적이 떨어지는 중요한 시기는 초등학교에서 중학교로 진학할 때, 중학교에서 고등학교로 진학할 때인 경우가 많다. 왜 이런 현상이 나타나는 것일까? 단순히 학교를 옮겼다고 해서 성적이 떨어지는 것은 아니라고 생각한다. 그보다는 학교에서 요구하는 학습패턴에 학생들의 학습패턴이 적절한 변화를 하지 못하기 때문에 일어난다고 볼 수 있다.

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수학 공부의 능력들
예전에 다른 글에서 자세히 살펴봤었지만 다시한번 살펴보기로 하자.

1. 산수 능력
밑의 그림에서 보듯이 학교가 학생들에게 요구하는 학습 능력은 초등학교 때에는 산수능력에 집중된다.
산수능력은 수에 대한 기본적인 감각과 활용하는 능력이며 선천적으로 타고난다고 보여진다. 이 능력의 요구는 초등학교 때 점차 늘어나 초등학교 6학년 때에 능력은 최고조에 이르게 되고, 이 능력치의 요구는 중학교부터는 계속 감소하게 된다. 초등학교 때 수학을 잘 하는 사람들은 사실상 산수능력에 뛰어난 사람들이며, 해석학 능력, 기하능력, 개념 등에 관련된 사항은 크게 상관없다. 초등학교때 필요한 능력은 거의 전부가 산수 계산능력이며, 그 외에 기하학적 능력이조금 필요하고, 개념으로는 비례식 관련된 것 정도일 뿐이다.

2. 기하 능력
기하능력은 신기하게도 초등학교 6학년 때 공간지각력이 완성되면서 모두 완성된다. 하지만 이 능력은 초등학교 때에 최고로 요구되는 것이 아니라 중학교 때에 많은 능력치를 요구한다. 중학교 때에는 기하 능력과 함께 논리력을 처음 접하는 시기이기도 하다. 단계별로 전개하는 것을 처음 배우는 단계여서 학생들이 쉽게 지치기도 한다. 아마 이것은 유클리드의 기하학에 관련된 이론들이 너무 논리정연하다보니 학생들을 지치게 하는 것이 아닐까 하는 생각도 해 본다.
중학교때는 기하 능력을 가장 크게 요구하며 그 이외에는 크게 중요한 것은 없다. (데카르트의 해석학을 처음 접하는 시기이기도 하다.)

3. 해석학 능력
해석학은 분야가 좀 다양하다. 주로 수치를 다루는 해석학 능력은 데카르트의 해석학을 심도있게 공부해 가면서 점차 난이도가 높아진다. 해석학 능력은 고등학교 때에 계속 발전하며, 그 이후의 능력치는 거의 비슷한 수준을 유지한다. 해석학은 신기하게도 산수능력을 대치할 수 있다. 아주 원활히 대치하는 것은 아니지만, 충분히 활용할 가능성이 있다. 해석학의 능력이 빨리 발전하는 사람은 초등학교 수학도 해석학으로 계산할 수 있다. 대부분은 이런 아이들이 초등학교에서 경시대회에 나가서 수상자가 되는 경우가 많다. (초등학교 수학 경시대회에서도 산수능력을 묻는 질문은 거의 나오지 않는다.)
수학계산을 하는데 있어서의 대부분의 능력치는 해석학에서 나오기 때문에 고등수학을 할 때에 가장 중요한 능력치가 아닐까 생각한다.

4. 개념
개념은 매우 폭넓은 의미로, 기존의 상황과 새로운 상황에 맞는 사고능력을 말한다. 개념은 중학교때까지는 거의 사용하지 않다가 고등학교로 진학하면서 명제, 함수, 행렬, 미적분학, 통계 등을 다루면서 개념을 다루기 시작한다. 개념은 해석학과 기하학 능력을 모두 필요로 하는 고난이도의 능력이기 때문에 아무나 접근할 수 없는 것이기도 하며, 개념은 계속해서 새로 등장하므로 한도끝도 없이 계속 발전해야 할 능력이기도 하다.

5. 다시 처음으로.....
산수능력, 기하학 능력, 해석학 능력은 다시 처음으로 되돌아가서 개념과 다시 한 번 만나야 한다. 수열, 복소수, 벡터 등등은 산수능력과 다시 만나게 되며, 좌표변환과 같은 개념이나 수학과에서만 다루는 많은 기하학적 접근방법들(나도 더 자세히는 잘 모르겠다!)에서 기하학적 능력을 다시 만나야 한다. 이렇게 기본적인 능력치를 다시 요구받을 때는 그 대부분을 개념의 입장에서 받아들이게 됨으로 수학능력이 어느정도 이상 되는 사람에게는 더이상 막힘없이 공부할 수 있게 된다. 다시 처음부터의 단계 이후부터는 사람들의 타고난 머리에 어느정도 의존하게 된다. 따라서 이 이전인 고등학교 수준까지는 타고나지 않은 사람들이라도 충분히 진도에 맞춰서 공부할 수 있다.

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공부의 기본적 단계
위에서 살펴봤듯이 4가지 각각의 능력치(산수 능력, 기하 능력, 해석학 능력, 개념)는 상호 유기적인 관계를 보이기는 하지만 각각의 요구치가 계속해서 필요로 하지 않다는데 문제가 있다.


수학을 하는데 있어서 제일 첫번째로 필요한 능력은 산수 능력이다.
위에서 이야기했듯이 초등학교 교과과정은 산수 능력을 최대로 요구한다. 이 관계는 중학교로 넘어가면서 자연스럽게 기하 능력을 발동시키고, 이 때 산수능력을 잊으면 안 된다. 왜냐하면 위에서 이야기했듯이 산수능력과 해석학 능력은 연관이 강하기 때문이다.
고등학교에 진학한 이후 산수능력과 기하학 능력을 바탕으로 해석학 능력을 키우게 되면 고등학교 2~3학년 과정에서 종합적인 능력이 길러지게 된다. (종합적인 능력은 중3때 완성되며, 그 뒤로 경험이 축적되면서 자연스러운 종합적 사고를 할 수 있게 된다.)

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당신의 자녀가 수학을 못하는 이유

일반적으로 외부적인 영향이나 강요가 없으면 아이들은 스스로의 능력을 제대로 키울 수 있다. 이에 대해서는 예전 글에서 이미 한두 번씩 언급한 적이 있었다.
일반적으로 초등학교에서는 산수능력이 가장 크게 요구하므로 산수능력을 최대한 발전시킬 수 있도록 교육시킨다. 그러다가 중학교에 가면 비로소 본격적인 기하학을 공부시킨다. 기하학의 경우는 고등학교 이후에 따로 공부하는 시간이 없으므로 중학교에서 배우는 것이 전부라고 생각할 수 있겠다.
고등학교 이후에 배우는 해석학 지식과 중학교에 배우는 기하학이 적절히 조화되면서 개념을 받아들이게 되면 우리가 그토록 원하는 창의력이 형성되게 된다.
창의력이 애초부터 좋은 사람들이 있는데, 이들을 이렇게 만드는 것은 폭넓은 접근을 애초부터 해왔기 때문이다. (타고난 사람들의 경우 주변 환경이 어느정도 치우치게 되더라도.... 스스로 균형을 유지하는 사람들이 있다.)

하지만 일반적인 우리나라의 교육과정을 살펴보면 좀 한숨이 먼저 나온다. 나만일까?

1. 첫 번째 단추
우선 우리나라에서는 초등학교에서부터 문제다. 초등학교 때 아무것도 알지도 못하는 아이들에게 100점을 강요한다. 100점은 이미 숙련된 어른들에게도 쉽지 않은 점수가 아니던가? 이 글을 읽는 사람들... 한번 생각해 보기 바란다. 어려서 학교 갔을 때 100점 맞아본 기억이 얼마나 되는가? 하지만 요즘 아이들은 올백(한 반 아이들이 전부 100점을 맞는다거나 한 아이가 전 과목을 모두 100점을 맞는다거나)을 맞는 경우가 꽤 많이 있다니 뭔가 정상적이지 않다.
그들은 산수 전용 기계을 뇌 속에 넣어두게 된다. 산수 전용 기계는 좌뇌를 주로 사용한다.

2. 두 번째 단추
중학교에 진학한 다음에는 산수능력은 별로 중요하지 않다. 기하학은 산수와는 전혀 동떨어진 세계다. 이 세계에서 또다시 100점을 맞으려면 또다시 기하학 전용 기계을 뇌 속에 넣어야 한다. 그러기 위해서는 지금까지 공부한 것을 모두 포기하고 새로운 문제지를 달달 풀어야 한다. 하지만 초등학교에서 공부할 때보다는 훨씬 어려워지게 된다. 초등학교때는 산수 기계를 넣기만 하면 됐지만, 중학교 때는 산수 기계를 치우고 대신 기하학 기계를 들여놔야 하기 때문이다.
산수 기계는 좌뇌에 있는데 우뇌에 넣어야 할 기하각 기계를 넣기 위해서 공부와 생각방식을 급격히 바꿔야 한다. (동시에 이 두 기계가 작동되어 100점을 맞으려면 아이가 자신의 초자아를 인식해야 하는데, 어린 중학생에게는 불가능에 가깝다.)
그러는 과정에서 아이들의 성적은 차츰 내려가게 되고, 흥미도 많이 잃게 된다. 성적이 떨어지지 않는다고 하더라도 뇌는 이미 발전의 외곡을 겪고 있다보니 한계를 느끼게 된다. (이런 과정에서 흥미를 유지할 수 있다면 그 아이야말로 타고난 인재가 아닐까??)

3. 세 번째 단추
고등학교에 진학하면 또다시 벽에 부딪힌다. 해석학이라는 녀석이 중학교 때도 다루기 어려웠는데 고등학교 때는 그 난이도가 순식간에 몇 배로 뛰기 때문이다. 더군다나 중학교 땐 기하학 전용 기계를 사용해서 그래도 높은 점수를 맞을 수 있었지만 고등학교 때부터는 모든 것을 수학에만 투자해도, 모든 것을 외워도 만점을 맞을 가능성은 없다. (요즘은 성적 부풀리기의 일환으로 시험문제를 쉽게 내주거나 고의 유출의 형태로 고등점을 유도한 경우도 많다고 들었다만.... 그것은 진짜 실력은 아니라는 것은 읽는 분들이 더 잘 아실 것이라 믿는다.)
더군다나 고등학교에는 개념이란 괴물이 버티고 있지 않은가?
우뇌를 더 많이 사용하는 기하학이나 좌뇌를 더 많이 사용하는 해석학과는 달리 개념은 좌우뇌를 모두 사용해야 하기 때문에 기본이 되어있지 않으면 더욱더 접근하기가 힘들다.

결국 이 세번의 과정을 거치면서 아이들은 수학을 회복할 수 없는 치명상을 입는 것이다. 간혹 이러한 과정을 거치고서 재능이 사그라들만큼 나이가 먹어서 다시 공부하는 사람들도 있지만... 그저 존경스러울 뿐이다.

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아이들은....
천천히.... 여유를 주면서 가르쳐야 한다.
그래야 자신들이 스스로 부족한 것을 조절하면서 완급을 조절할 수 있을 것이다.
그래서 교육자는 항상 여유있는 자세가 필요하다.


뱀발 :
옛날 재수 단과학원인 대일학원에 다닐 때 한 인기 수학강사는 모든 문제를 공식으로 만들어서 아이들에게 암기할 것을 지시하고 있었다. 딱 한달을 그 사람에게서 배웠지만 악몽이 따로 없었다. ^^;;;;
뭐 그 사람에게 공부하고 학력고사 잘 봐서 좋은 대학교 간 사람들도 많다하니 기억력 좋은 사람들이 굉장히 많은가보다...

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